数学の問題には一見シンプルでも、条件を整理していくと奥深い論理が隠れているものがあります。今回取り上げるのは「0,1,2,3,4,5のカードから4枚を選んで並べ、偶数となる4桁の数をいくつ作れるか」という問題です。高校受験や大学受験の整数問題、場合の数の演習としても非常に役立つ題材です。
偶数の条件を確認する
まず、4桁の偶数であるためには一の位が偶数（0,2,4）でなければなりません。この制約が最初の大きなポイントです。
つまり、最後の桁に置ける数字は {0,2,4} のいずれかとなります。
先頭の数字の制約
4桁の数なので、先頭の数字は0ではいけません。したがって一の位の数字が何であるかによって、使える先頭の数字が変わってきます。
例：一の位に0を置いた場合、残りの {1,2,3,4,5} から先頭を選ぶ必要があります。
場合分けをして数える
ここで「一の位の数字」を基準に場合分けします。
- 一の位が0の場合：先頭は {1,2,3,4,5} の5通り。残り2桁は {残り4枚} から並べるので4×3=12通り。→ 5×12=60通り。
- 一の位が2の場合：残りは {0,1,3,4,5}。先頭は0以外の4通り。残り2桁は {4枚} から選ぶので4×3=12通り。→ 4×12=48通り。
- 一の位が4の場合：残りは {0,1,2,3,5}。先頭は0以外の4通り。残り2桁は4×3=12通り。→ 4×12=48通り。
合計の計算
以上を合計すると、
60 + 48 + 48 = 156通り となります。
このように、場合分けと順列の考え方を組み合わせると、複雑に見える問題も整理して解けるのです。
類題で練習する
似た問題を考えてみると理解が深まります。例えば「奇数の場合はいくつ作れるか」「数字の範囲を0〜9に広げた場合」などのバリエーションです。
また、試験では「選ぶ順番」と「並べる順番」を区別できるかが重要になります。数え間違いを防ぐには、必ず条件ごとに丁寧に場合分けを行いましょう。
まとめ
今回の問題では、条件を一つずつ整理することで156通りという正解にたどり着きました。数学の問題は、焦らず「条件 → 場合分け → 計算」の流れを守ることで、論理的に解決できることがわかります。学習の際は、この流れを意識して練習すると大きな力になります。
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