多項式の因数分解：xとyについて整理する方法の違い

数学の問題において、多項式を因数分解する際に、xまたはyについて整理する方法によって、解き方が異なります。今回は、与えられた多項式 6x² + 5xy + y² − x − 1 を、xについて整理する場合とyについて整理する場合の違いについて解説します。

多項式の因数分解とは？

因数分解とは、多項式をその積の形に分解する操作です。これにより、方程式を解くために必要な情報を得ることができます。例えば、2次方程式や3次方程式の解法に使われることが多い技術です。

多項式を因数分解する際には、式を適切に整理し、必要に応じて「たすき掛け」や「平方完成」などの手法を用います。

まず、xについて整理して因数分解を考えてみましょう。問題の多項式は、次のように与えられています。

6x² + 5xy + y² − x − 1

ここで、xの係数が1より大きいので、「たすき掛け」を使う必要があります。具体的には、x²の係数が6で、xの項に5xyが含まれているため、最初に適切な因数を見つけて掛け合わせる方法を取ります。

この場合、xに関する式を整理するために係数を分解し、適切な掛け算を行う必要があります。例えば、xの項と定数項をうまく整理して因数分解を行う手法を用います。

次に、yについて整理して因数分解を考えます。yについて整理すると、y²の係数が1になるため、「たすき掛け」を使わずに因数分解を行うことが可能です。

具体的には、yを基準に整理することで、式の中でy²の係数を1にすることができます。これにより、xに比べて簡単に因数分解が可能となり、計算がスムーズに進みます。

xについて整理する場合、x²の係数が1より大きいため、たすき掛けを使う必要があります。この方法では、因数を見つける過程が少し複雑になる場合があります。

一方、yについて整理すると、y²の係数が1になるため、たすき掛けを使わずに済み、計算がシンプルになります。この点が、xとyについて整理した場合の主な違いです。

多項式の因数分解では、xまたはyについて整理する方法によって、解法が異なります。xについて整理する場合はたすき掛けを使う必要があり、yについて整理すると計算が簡単になることが分かりました。この違いを理解し、どちらの方法を使うべきかを選択することが、因数分解を効率よく行うポイントです。