今回は、高校数学の問題「C: y = x³ − 6x² + 11x − 6 の座標(3, 0)の接線 l: y = 2x − 6 と C で囲まれた部分の面積を求める方法」について解説します。この問題では、接線 l と曲線 C の交点を利用して面積を求めることになります。以下で、具体的な手順を詳しく解説していきます。
1. 問題の設定と理解
まず、C は三次関数で、l は一次関数です。問題では、C と l が交わる点(3, 0)に接線が引かれており、もう1つの共有点(0, −6)が与えられています。この2つの関数が囲む部分の面積を求めるのがこの問題のポイントです。
2. Cとlの交点を求める
C と l の交点を求めるためには、まず C と l が交わる点を見つけます。交点の座標(0, −6)はすでに与えられているので、次に接線lの方程式 y = 2x − 6 を使って、もう1つの交点である(3, 0)を確認します。
3. 面積を求める式の設定
Cとlで囲まれた面積を求めるためには、まずそれらの差を積分で求めます。積分区間は交点(0, −6)と(3, 0)です。具体的には次の式を定積分で計算します：
S = ∫[0, 3] (C(x) – l(x)) dx。
この積分で面積が求められます。
4. 積分の計算
具体的に積分を計算すると、次のような式になります：
S = ∫[0, 3] ((x³ − 6x² + 11x − 6) − (2x − 6)) dx。
これを計算すると、面積 S が 27/4 になることが確認できます。
5. 図を描いて確認
面積の出し方を視覚的に理解するためには、C と l のグラフを描くことが有効です。C は三次関数のグラフ、l は一次関数の直線です。これらの関数の交点が(3, 0)と(0, −6)であることを確認し、その間で囲まれた面積が求められます。
6. まとめ
この問題では、C と l の間で囲まれた面積を定積分を使って求めました。問題の解法としては、まず交点を確認し、その後、C と l の関数の差を積分して面積を算出しました。答えとしては、27/4が求める面積です。もし解答に疑問があれば、グラフを描いて確かめることをおすすめします。
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