n²が2の倍数ならnも2の倍数であることを証明する方法

数学の命題「n²が2の倍数ならばnも2の倍数である」を証明する方法について解説します。この問題は、対偶や背理法を使わずに直接的に証明する方法を求めるものです。この記事では、この命題が成立する理由を分かりやすく説明します。

命題の理解と前提

まず、命題の内容を整理しましょう。命題は、「もしn²が2の倍数であれば、nも2の倍数である」というものです。この場合、nは整数であり、n²が2の倍数ということは、n²が2で割り切れるということです。

この命題を証明するには、n²が2の倍数であることを前提にして、nも2の倍数であることを導き出します。

n²が2の倍数であるとは、n²が2で割り切れることを意味します。つまり、n² = 2k（kは整数）と表せる場合です。

次に、nを考えます。nが奇数である場合、nは2で割り切れないため、n²も2で割り切れないことが分かります。例えば、n = 3の場合、n² = 9ですが、9は2で割り切れません。このように、nが奇数であれば、n²は2の倍数にはなりません。

一方、nが偶数であれば、n = 2m（mは整数）と表すことができます。このとき、n² = (2m)² = 4m²となり、明らかに2で割り切れることがわかります。したがって、n²が2の倍数であれば、nも2の倍数であることが確認できます。

n²が2の倍数であるならば、nが2の倍数であることが示されました。もしnが奇数であれば、n²は2の倍数にはならないため、nが偶数である場合に限り、n²が2の倍数であることが成り立ちます。

この証明では、nが偶数であることを直接的に示すことにより、命題を証明しました。

「n²が2の倍数ならばnも2の倍数である」という命題は、nが偶数であることを示すことで証明できます。nが奇数であれば、n²は2の倍数にはならないため、nが偶数である必要があることが確認できました。このように、数学の証明では直接的な論理的ステップを踏むことが重要です。