大学数学：原点における極限の計算方法

大学数学でよく出題される、関数の原点における極限を求める問題について解説します。例えば、関数「2x³ – y³ / 4x² + y²」の極限を原点（x = 0, y = 0）で求める方法を詳しく説明します。この問題を通じて、極限の概念と計算方法について理解を深めましょう。

1. 問題の設定

与えられた関数は、次の通りです。

f(x, y) = (2x³ – y³) / (4x² + y²)

原点での極限を求めるには、まず関数をxとyに関して評価します。このとき、直線的なアプローチ（例えば、y = mxという直線に沿って）や、異なる方向からのアプローチを試して、極限が同じであるかを確認します。もしすべての方向で同じ極限値が得られれば、その極限は存在すると言えます。

まず、x軸（y = 0）に沿って極限を求めます。

f(x, 0) = (2x³ – 0³) / (4x² + 0²) = 2x³ / 4x² = 1/2 * x

xが0に近づくと、f(x, 0)も0に近づきます。次に、y軸（x = 0）に沿って極限を求めます。

f(0, y) = (2(0)³ – y³) / (4(0)² + y²) = -y³ / y² = -y

yが0に近づくと、f(0, y)も0に近づきます。

このように、x軸とy軸に沿ったアプローチから得られた極限は共に0でした。このことから、原点における極限が存在し、その値は0であることがわかります。

関数の極限を求める際には、いくつかの異なる経路（例えば、x軸、y軸、y = mx など）を用いて、各方向での極限が一致するかどうかを確認することが大切です。すべての方向で同じ値が得られれば、極限がその値として存在すると判断できます。