ケプラーの第三法則と時間平均の計算方法について

ケプラーの第三法則について、特に運動の「時間平均」を使って計算をする際の疑問について考えてみましょう。ケプラーの第三法則は、惑星の公転周期とその軌道の半長軸の関係を示す法則ですが、質問者はこの法則を計算する際にどのように時間平均を適用するかについて悩んでいるようです。

1. ケプラーの第三法則とは

ケプラーの第三法則は、惑星の公転周期（T）とその軌道の半長軸（a）との間に次のような関係があることを示しています：
T² ∝ a³。
この法則によれば、惑星が太陽の周りを回る周期は、その軌道の大きさ（半長軸）に依存しています。公転周期が長いほど、軌道が大きいことを意味します。

2. 時間平均と角度平均の違い

質問者が指摘しているのは、「時間平均」と「角度平均」の違いについてです。時間平均とは、運動の全ての瞬間の値を時間で平均したものです。一方、角度平均は、角度の変化に基づく平均です。ケプラーの法則を適用する場合、運動を時間的に平均することが重要ですが、これは計算が複雑になることがあります。

3. 面積速度一定の法則を使った計算方法

質問者が使用した「面積速度一定の法則」とは、惑星の公転において、太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間あたりに掃く面積が一定であるという法則です。この法則を使うことで、惑星の位置や運動に関連する計算を行うことができます。

4. 進んだ計算：軌道運動の時間平均

質問者が行った計算では、楕円軌道を描く惑星の運動を「角速度の平均」を使って求めています。計算では、まず r = ℓ/(1 + εcosθ) のような式を使い、面積速度一定の法則を適用しました。これにより、時間の平均を取らずに角度の平均を求めることができ、最終的に周期Tを求める式が得られました。

5. 結果の確認：誤りかどうか

再考した結果、運動の「時間平均」を取らずとも、結果としてケプラーの第三法則と一致する式を得ることができました。最終的に得られた式 T = 4π / (2 + ε²) * √(ℓ³ / GM) は、εが0のときにケプラーの第三法則に一致します。このように、エリプティカルな軌道においても正しい結果を導き出すことができたため、誤りではないと言えます。

まとめ

ケプラーの第三法則に関する計算を行う際には、運動の時間平均を取る方法が難しい場合があります。しかし、面積速度一定の法則を利用することで、角度平均を求める計算でも十分に正確な結果を得ることができることがわかりました。質問者が再考した内容は正しい方向性であり、最終的にケプラーの法則と一致する結果が得られました。