n^2を8で割ったあまりが0, 1, 4になる理由と4で割ったあまりの重要性

整数nの二乗n²を8で割った余りが0, 1, 4のいずれかになることを証明するために、nを4で割った余りで場合分けをする方法について解説します。この方法がなぜ有効であるのか、詳しく説明します。

問題の設定

与えられた問題は、「n²を8で割った余りが0, 1, 4のいずれかになることを証明せよ」というものです。この問題を解くためには、nを4で割った余りに注目して場合分けを行います。その理由を説明します。

nを4で割った余りについて

まず、任意の整数nを4で割った余りについて考えます。nを4で割った余りは、nが以下の4通りの値に分類されることに基づいています。

• n ≡ 0 (mod 4)
• n ≡ 1 (mod 4)
• n ≡ 2 (mod 4)
• n ≡ 3 (mod 4)

これらの余りについて、n²を8で割った余りがどうなるかを調べることにより、問題を解決できます。

場合分けによる証明

次に、nを4で割った余りを場合分けして、n²を8で割った余りを求めます。

n ≡ 0 (mod 4)

n = 4k（kは整数）とすると、n² = (4k)² = 16k² です。16k²は8で割ると、余りは0になります。したがって、n²を8で割った余りは0です。

n ≡ 1 (mod 4)

n = 4k + 1とすると、n² = (4k + 1)² = 16k² + 8k + 1 です。16k² + 8kは8で割ると余りが0になるため、余りは1になります。したがって、n²を8で割った余りは1です。

n ≡ 2 (mod 4)

n = 4k + 2とすると、n² = (4k + 2)² = 16k² + 16k + 4 です。16k² + 16kは8で割ると余りが0になるため、余りは4になります。したがって、n²を8で割った余りは4です。

n ≡ 3 (mod 4)

n = 4k + 3とすると、n² = (4k + 3)² = 16k² + 24k + 9 です。16k² + 24kは8で割ると余りが0になるため、9は8で割ると余りが1になります。したがって、n²を8で割った余りは1です。

まとめ

以上のように、nを4で割った余りが0, 1, 2, 3のそれぞれの場合について、n²を8で割った余りが0, 1, 4のいずれかになることがわかります。したがって、n²を8で割った余りは、常に0, 1, 4のいずれかであることが証明されました。この証明の鍵となるのは、nを4で割った余りに注目して場合分けを行うことでした。