tan(π−θ)/2がtan(1)/tan(θ/2)になる理由を解説

高校数学

2025.10.29

三角関数の公式には、直感的に理解するのが難しいものがあります。特に、tan(π−θ)/2とtan(1)/tan(θ/2)が等しい理由については、多くの学生や学習者が疑問に感じるポイントです。この記事では、この関係をわかりやすく解説します。

tan(π−θ)/2とは？

まず、tan(π−θ)/2という式を見てみましょう。ここでは、π（パイ）は円周率であり、約3.14159です。つまり、この式はπから角度θを引き、その結果を2で割った値のタンジェントを求めることを意味します。

この式がどのように変形するのかを理解するために、まずはtan(π−θ)の性質を知る必要があります。

tan(π−θ)は、三角関数の加法定理に基づいて、次のように表現できます。

tan(π−θ) = −tan(θ)

これは、π（180度）からθを引いた角度のタンジェントは、θのタンジェントの符号が反転するという性質に基づいています。したがって、tan(π−θ)/2は次のように変形できます。

tan(π−θ)/2 = −tan(θ)/2

次に、tan(1)/tan(θ/2)という式を見てみましょう。ここで、1は単位としてラジアンで表される角度です。この式では、tan(1)をθ/2のタンジェントで割る形になっています。

具体的にtan(1)がどのような数値であるかを考えると、数値的にtan(1)は約1.5574となります。一方で、tan(θ/2)は、θを2で割った角度のタンジェントです。

ここで重要なのは、tan(π−θ)/2の式が−tan(θ)/2に変形できるということです。したがって、tan(π−θ)/2とtan(1)/tan(θ/2)が等しくなる理由を理解するためには、θの値が特定の条件下で満たされる必要があります。

例えば、θ = π/2のとき、tan(π−θ)/2はtan(π/2−π/2)/2 = 0であり、tan(1)/tan(θ/2)も同様に0になります。このように、特定の条件において、両方の式が等しくなることが確認できます。

この記事では、tan(π−θ)/2がtan(1)/tan(θ/2)になる理由について解説しました。基本的には三角関数の性質や加法定理を用いて式を変形することで、この関係が明らかになります。理解を深めるために、具体的な角度で計算してみると、より実感が湧くでしょう。