数学の因数分解は、与えられた式をより簡単な因数に分ける重要な操作です。ここでは、式(4a²+6a+9)をどのように因数分解するかを解説します。この式は2次式なので、まずは因数分解の基本的な方法を理解することから始めましょう。
因数分解の基本的な考え方
2次式の因数分解では、一般的に次のような形で因数分解を行います。
ax² + bx + c = (px + q)(rx + s)
ここで、a、b、cは与えられた式の係数であり、p、q、r、sは求めるべき因数です。因数分解をする際には、2つの数を見つけて、それらを掛け算してc（定数項）になり、足し算してb（一次項の係数）になるようにします。
式(4a² + 6a + 9)の因数分解
まず、式(4a² + 6a + 9)に注目しましょう。この式は、標準的な二次式の形ax² + bx + cに似ています。ここで、a = 4, b = 6, c = 9です。次に、この式を因数分解できるかを考えます。
実は、この式は簡単に因数分解できます。2次式の因数分解では、係数の合成がうまくいかない場合がありますが、この式は平方の形になっていることに気づきます。
式(4a² + 6a + 9)は、(2a + 3)²に因数分解できます。実際に展開してみると、次のように確認できます。
(2a + 3)(2a + 3) = 4a² + 6a + 9
よって、(4a² + 6a + 9)は(2a + 3)²として因数分解できます。
因数分解のポイント
この式の場合、因数分解のヒントは「平方完成」を利用することです。すなわち、元の式が平方の形になるかどうかを調べることで、因数分解の方法が見つかります。
もし平方の形でない場合でも、因数分解の基本的な手順を踏んで適切な2つの数を見つけることができます。平方の形を確認することで、計算を簡単にすることができるので、この手法は非常に有用です。
まとめ
式(4a² + 6a + 9)は、因数分解すると(2a + 3)²に簡単に分けることができます。因数分解を行う際は、式の構造をよく観察し、平方完成を試みることで、効率的に因数分解ができる場合があります。この方法を覚えておくと、今後の数学の問題にも役立つでしょう。
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