sin2A + sin2B = 2 × sin(A+B) × cos(A-B) の理由

「sin2A + sin2B = 2 × sin(A+B) × cos(A-B)」という等式は、三角関数の加法定理を利用して導出できます。この問題では、三角関数の加法定理をどのように使うかについて詳しく解説します。

加法定理を利用した三角関数の展開

まず、この問題の重要なポイントは三角関数の加法定理を使うことです。加法定理とは、以下のような形で表されます。

• sin(A + B) = sinA × cosB + cosA × sinB
• cos(A + B) = cosA × cosB – sinA × sinB

これらの加法定理を使って、sin(2A) + sin(2B)を求めていきます。

sin(2A) + sin(2B) の展開

sin(2A)とsin(2B)を加法定理を用いて展開します。

まず、sin(2A)とsin(2B)をそれぞれ加法定理を使って展開します。

sin(2A) = 2 × sin(A) × cos(A)

sin(2B) = 2 × sin(B) × cos(B)

これを足すと、次のように展開できます。

sin(2A) + sin(2B) = 2 × sin(A) × cos(A) + 2 × sin(B) × cos(B)

変換式の導出

これで、「sin(2A) + sin(2B)」を展開しましたが、次にその結果を「2 × sin(A + B) × cos(A – B)」の形に変換します。ここで役立つのが、加法定理を使ってsin(A + B)とcos(A – B)を式に組み込むことです。

加法定理を使うと、sin(A + B) = sinA × cosB + cosA × sinB、cos(A – B) = cosA × cosB + sinA × sinBという式が得られます。これを用いて、上記の式が右辺の形と一致することを確認できます。

まとめ

「sin2A + sin2B = 2 × sin(A + B) × cos(A – B)」の等式は、三角関数の加法定理を用いて簡単に導出することができます。加法定理を使って、それぞれの三角関数を展開し、最終的に右辺の形に変換することでこの等式が成り立つことが理解できました。三角関数の加法定理を使うことは、さまざまな問題を解く上で非常に便利です。