sin4θ = cosθ を満たすθの値を求める方法

この問題では、0 < θ < π/2 の範囲で等式 sin(4θ) = cos(θ) を満たす θ の値を求める問題です。三角関数の基本的な性質を活用し、この方程式を解く方法を解説します。

問題の整理

与えられた方程式は sin(4θ) = cos(θ) です。ここで、θ は 0 < θ < π/2 の範囲にあるとされています。この問題を解くためには、三角関数の変換や方程式の性質を理解する必要があります。

方程式の解法のステップ

まず、方程式 sin(4θ) = cos(θ) の両辺に注目しましょう。ここで、sin(4θ) を展開する方法として、倍角の公式を使うと便利です。sin(4θ) は以下のように展開できます。

sin(4θ) = 2sin(2θ)cos(2θ)

次に、2θ に関しても倍角の公式を使うと、sin(2θ) と cos(2θ) をそれぞれ展開できます。これにより、sin(4θ) をより簡単な三角関数の式に変換します。

三角関数の変換を使った解法

方程式 sin(4θ) = cos(θ) を解くためには、いくつかのアプローチがありますが、ここでは試行錯誤と数学的な性質を活用して、sin(4θ) と cos(θ) の関係が成り立つ θ の値を求めます。

例えば、θ = π/4 の場合、sin(4(π/4)) = sin(π) = 0 であり、cos(π/4) = √2/2 となります。このように、θ の値を代入して計算することで、方程式の解が得られます。

解の確認と考察

解を求める際に、θ が 0 < θ < π/2 の範囲にあることを確認しながら計算を進めることが重要です。この問題では、θ = π/4 が1つの解であることがわかりますが、他の解が存在するかどうかも確認しましょう。

まとめ

この問題を解くためには、三角関数の基本的な性質や公式を駆使して、方程式を解く必要があります。sin(4θ) = cos(θ) のような方程式を解くには、三角関数の展開や代入法を使って解を求める方法を理解することが大切です。θ = π/4 が解の1つであり、他の解を探す際には同様の手法を使って解を求めることができます。