三角形ABCにおいて、AB=c、BC=a、CA=bとしたとき、次の関係式が与えられています。
- a² – 2b – 2c = 0
- b – c + 2 = 0
これらの関係式を基に、三角形ABCが直角三角形であることを示す方法を解説します。
1. 与えられた関係式の整理
まず、与えられた二つの式を整理します。最初の式はa² – 2b – 2c = 0、次の式はb – c + 2 = 0です。この二つの式を使って、a, b, cの関係を明確にしましょう。
2. 二つ目の式を利用する
二つ目の式b – c + 2 = 0からcをbと関連付けることができます。これを解くと、c = b + 2という式が得られます。これを最初の式に代入しましょう。
3. 最初の式に代入する
c = b + 2を最初の式a² – 2b – 2c = 0に代入すると、次のようになります。
a² – 2b – 2(b + 2) = 0
これを整理すると、a² – 2b – 2b – 4 = 0となり、さらにa² – 4b – 4 = 0となります。
4. 直角三角形の条件に合致するかを確認する
次に、三角形ABCが直角三角形であるためには、ピタゴラスの定理を満たす必要があります。すなわち、a² = b² + c²が成り立つべきです。ここでc = b + 2を使い、a² = b² + (b + 2)²を計算してみましょう。
5. 計算と確認
まず、(b + 2)²を展開すると、b² + 4b + 4となります。それをa² = b² + (b + 2)²に代入すると、a² = b² + b² + 4b + 4となり、a² = 2b² + 4b + 4となります。
この式が最初に得られた式a² – 4b – 4 = 0と一致していることが確認できました。したがって、この三角形は直角三角形であることが証明されました。
6. まとめ
与えられた関係式を用いて三角形ABCが直角三角形であることが証明されました。計算においては、ピタゴラスの定理を利用し、c = b + 2を代入して確認することがポイントでした。
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