直交座標と球座標における偏微分の関係式の導出

関数 w = f(x, y, z) に対する偏微分の変換は、物理学や数学で非常に重要です。特に、直交座標 (x, y, z) と球座標 (r, θ, ψ) の間での変換において、偏微分の関係式がどのように変わるかを理解することは重要です。本記事では、次の関係式の導出方法について解説します。

座標変換の定義

まず、直交座標から球座標への変換を確認しましょう。球座標 (r, θ, ψ) は以下のように直交座標 (x, y, z) に変換されます。

x = r sinθ cosψ
y = r sinθ sinψ
z = r cosθ

偏微分の変換式

次に、関数 w = f(x, y, z) の偏微分に注目します。直交座標系での偏微分と球座標系での偏微分は、以下の等式が成り立つことが示されています。

(∂u/∂x)^2 + (∂u/∂y)^2 + (∂u/∂z)^2 = (∂u/∂r)^2 + (1/r ∂u/∂θ)^2 + (1/(r sinθ) ∂u/∂ψ)^2

偏微分の計算方法

まず、直交座標 (x, y, z) における偏微分は次のように求められます。w = f(x, y, z) の偏微分をそれぞれ x, y, z に関して計算し、各項を平方して合計します。これが左辺に対応します。

次に、球座標 (r, θ, ψ) での偏微分を求めます。球座標系では、各座標系に対しての偏微分は変換式を考慮して計算する必要があります。例えば、r、θ、ψ に関する偏微分をそれぞれ求め、その結果を右辺に対応させます。

変換式が成り立つ理由

球座標への変換では、直交座標系における偏微分を球座標系に適用するために、変換後の座標における尺度を考慮する必要があります。具体的には、各座標間での変換の影響を計算に組み込むことで、右辺の式が左辺の式と一致することが確認できます。

この変換式が成り立つ理由は、球座標系が直交座標系に比べて非直線的であり、各座標系における尺度の違いが影響を与えるためです。

まとめ

直交座標 (x, y, z) と球座標 (r, θ, ψ) における偏微分の関係式は、座標変換を適切に扱うことで導出できます。この関係式を理解することは、物理学や数学での問題解決において重要です。具体的な計算方法を把握することで、直交座標系と球座標系を自由に扱えるようになります。