座標平面上で放物線の式が与えられた場合、点Pや点Qの座標を使ってaとbの値を求めることができます。この問題では、放物線y = 2x² + ax + b (a > 0)がx軸と点Pで接し、y軸と点Qで交わるとき、PQ = √3という条件からaとbを求める方法について解説します。
放物線の基本式と接点の条件
放物線y = 2x² + ax + bがx軸と接するためには、その放物線がx軸に対して1点で接することが必要です。x軸と接する点Pのx座標は、y = 0の時に放物線の解が重解になる必要があり、そのためには判別式が0でなければなりません。
具体的には、2x² + ax + b = 0 の判別式Δは以下のように求められます。
Δ = a² – 4(2)(b) = 0
この条件を使ってaとbの関係式が得られます。
y軸との交点Qを求める
次に、y軸との交点Qを求めます。y軸と交わる点はx = 0の時です。したがって、x = 0を放物線の式に代入すると、点Qのy座標は以下のように求められます。
y = 2(0)² + a(0) + b = b
したがって、点Qの座標は(0, b)となります。
点Pと点Qの距離PQを利用する
次に、PQの距離が√3であるという条件を使ってaとbの値を求めます。点Pの座標は、x軸と接するため、x座標は判別式の解であり、y座標は0です。よって、点Pの座標は(−a/4, 0)となります。
点Pと点Qの距離PQは、次のように求められます。
PQ = √[(−a/4 − 0)² + (0 − b)²] = √[(a²/16) + b²]
PQ = √3 という条件を代入して、以下の式を得ます。
√[(a²/16) + b²] = √3
この式を解くことで、aとbの値を求めることができます。
aとbの値の求め方
式を整理すると、次のような関係が得られます。
a²/16 + b² = 3
さらに、判別式Δ = 0からa² = 8bを代入して、aとbの関係式を解くことができます。この操作を行うことで、aとbの具体的な値が求められます。
まとめ
このようにして、与えられた条件からaとbの値を求めることができます。放物線がx軸と接し、y軸と交わる条件を利用して、PQの距離から具体的な値を導く方法を解説しました。数学的なステップを踏むことで、問題を解決することができました。
コメント