2014年一橋大学入試の数学第5問(3)の証明方法：数学的帰納法を用いた解法

2014年一橋大学入試の数学第5問(3)では、確率に関する問題が出題されました。この問題において、確率を (n-1) / 2^n と仮定し、数学的帰納法で証明する方法を紹介します。

1. 問題の設定

問題では、ある確率に関して (n-1) / 2^n と仮定されています。この確率を数学的帰納法を用いて証明する方法を解説します。まずは、数学的帰納法の基本的なステップを復習しましょう。

数学的帰納法は、ある命題が自然数について成り立つかを証明する方法です。基本的なステップは以下の通りです。

これらのステップを用いて問題を解いていきます。

まず、n = 1 の場合に確率が (1-1) / 2^1 = 0 であることがわかります。これがベースケースとなります。

次に、n = k の場合に (k-1) / 2^k が成り立つと仮定し、n = k + 1 の場合に確率が (k) / 2^(k+1) であることを証明します。

帰納法の仮定を元に、n = k + 1 の場合の確率を計算します。最終的に、(k) / 2^(k+1) が (k-1) / 2^k の形に一致することを示せば、帰納法のステップが完了します。

このように、数学的帰納法を用いることで、確率が (n-1) / 2^n の形で成り立つことを証明できます。この方法を使うと、問題の解法が明確になり、証明の過程を理解しやすくなります。

2014年一橋大学の数学第5問(3)では、数学的帰納法を利用して確率を証明する問題でした。数学的帰納法の基本を理解し、問題に適用することで、確率をしっかりと導出することができます。今後も数学的帰納法を使った証明を練習して、理解を深めていきましょう。