中学受験：カードを使った順列と組み合わせの問題解法

この問題は順列と組み合わせを利用した中学受験に出題される数学の典型的な問題です。2つの整数を作るために4枚のカードを並べる問題です。以下では、問題の解法とともに、理解しやすい形で解説を行います。

問題の整理

まず、問題文を整理します。カードは{①、④、⑥、⑧}の4枚で、それを2枚ずつ並べて2桁の整数を2つ作ります。つまり、カードを使って整数のペアを作り、求められているのはその組み合わせの数と、差が最も小さくなるペアの差です。

まず、カードの選び方について考えます。カードは4枚ありますから、まず2枚を選んでその2枚で整数を作り、次に残りの2枚で別の整数を作ります。つまり、最初に2枚のカードを選ぶ方法は4枚のカードの中から2枚を選ぶ組み合わせです。その数は4C2 = 6通りです。

次に、選んだ2枚で2桁の整数を作る方法ですが、2枚の並び方は順番が重要ですので、並べ方の数は2!（2通り）です。同じように残りの2枚でも並べ方は2通りです。したがって、整数の組み合わせの数は6 × 2 × 2 = 24組です。

次に、整数の組み合わせの中でその差が最小になる場合を求めます。まず、できるだけ差を小さくするためには、作る2つの整数の数が近くなるようにカードを並べます。

例えば、カード{①、④、⑥、⑧}の場合、並べ方を考えると、組み合わせの中で差が最小になるペアは、⑥④と⑧①であり、この差は最小です。差は68 - 46 = 22となります。

この問題は、順列と組み合わせを理解したうえで、整数を作る方法と差を最小にする方法を考える問題でした。解法のステップをしっかりと理解して、順番に解くことが大切です。問題の理解を深めるためには、同じタイプの問題を繰り返し解くことが有効です。