高校数学：2次方程式の解法と条件付きの問題の解説

この質問では、与えられた2次方程式に基づいて、bをaを用いて表す方法、異なる実数解を求める方法、そして特定の条件を満たすaの値を求める問題を解説します。順を追って問題を解きながら理解を深めていきましょう。

問題の確認と解法へのアプローチ

与えられた2次方程式は以下の形です。

2x²(3a – 11)x + b = 0・・・①

ここで、x=2が解であることが指定されています。この情報をもとに、問題を順番に解いていきます。

x = 2が解であるという条件を代入して、bを求めます。まず、x = 2を方程式に代入してみましょう。

2(2)²(3a – 11) + b = 0

これを解くと、bはaの関数として表されます。この過程を踏まえて、具体的な式を導きます。

次に、与えられた2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を求めます。2次方程式が異なる実数解を持つためには、判別式Δが正である必要があります。

Δ = b² – 4ac

この式を使って、Δ > 0となるaの範囲を求めます。また、このときの解の一つをpとし、pがaを用いて表される方法を解説します。

最後に、pの整数部分がaである条件を追加で考えます。pが整数でない場合に、pの整数部分がaであるようなaの値を求める方法を説明します。この条件を満たすaの範囲を求めることで、問題を解決できます。

この問題は、数学の基本的な解法を駆使して解くことができます。最初に与えられた条件から式を導出し、判別式を用いて解の性質を分析することで、aとbの関係を求めることができます。最終的に、pの整数部分がaである条件を満たすaの値を求めることで、問題が完了します。