袋の中に赤色の玉が4個、青色の玉が5個ある場合、3個の玉を取り出したときに赤色の玉が多く残る確率を求める方法について解説します。このような問題では、組み合わせを使って確率を計算することが重要です。
問題の設定
袋の中に赤色の玉4個、青色の玉5個が入っています。この袋から3個の玉を取り出すとき、赤色の玉の方が多く残る確率を求める問題です。赤色の玉の方が残るためには、青色の玉が2個以上取り出される必要があります。
取り出す玉の組み合わせとその確率を計算していきます。
確率の求め方
袋の中から玉を3個取り出す場合の組み合わせは、次のように求めることができます。
取り出す玉の総数は9個（赤色4個 + 青色5個）で、そこから3個を選ぶ場合の組み合わせは、9C3です。この組み合わせ数は、次のように計算できます。
9C3 = 9 × 8 × 7 / (3 × 2 × 1) = 84
赤色の玉が多く残るための条件
赤色の玉が多く残るためには、青色の玉が2個以上取り出されなければなりません。よって、取り出す玉の中で青色の玉が2個または3個である場合を考えます。
1. 青色の玉が2個、赤色の玉が1個取り出される場合。
青色の玉が2個、赤色の玉が1個という組み合わせは、5C2 × 4C1 です。
5C2 = 5 × 4 / (2 × 1) = 10、4C1 = 4なので、この場合の組み合わせ数は 10 × 4 = 40 です。
2. 青色の玉が3個、赤色の玉が0個取り出される場合。
青色の玉が3個という組み合わせは、5C3 です。
5C3 = 5 × 4 × 3 / (3 × 2 × 1) = 10 です。
確率の計算
青色の玉が2個、赤色の玉が1個取り出される場合と、青色の玉が3個、赤色の玉が0個取り出される場合を足し合わせた場合の組み合わせ数は、40 + 10 = 50 です。
したがって、赤色の玉が多く残る確率は、次のように求められます。
確率 = 50 / 84 = 25 / 42
まとめ
このようにして、袋から3個の玉を取り出したときに赤色の玉が多く残る確率は25/42となります。この問題では、組み合わせを使って確率を計算する方法を実践しました。
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