x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0 を (x+2)(x-3)^2 = 0 の形に変形する方法

方程式「x^3 + x^2 – 8x – 12 = 0」を「(x+2)(x-3)^2 = 0」の形に変形するには、因数分解の手法を使います。この記事では、その手順を詳しく解説します。

因数分解の基本的な手順

多項式の因数分解では、まず「共通因数」や「二項定理」を利用して式を簡単にしていきます。式「x^3 + x^2 – 8x – 12 = 0」を因数分解する場合、まずは式の項をグループ化して考えます。

まず、「x^3 + x^2 – 8x – 12 = 0」を次のように2つのグループに分けます。

(x^3 + x^2) + (-8x – 12) = 0

次に、それぞれのグループに共通因数を見つけてくっつけます。

まず、最初のグループ「x^3 + x^2」から共通因数x^2を取り出し、次に「-8x – 12」からは共通因数-4を取り出します。

x^2(x + 1) – 4(x + 3) = 0

ここで、式の中に(x + 1)という共通の因数があります。これを使ってさらに因数分解を進めます。

「x^2(x + 1) – 4(x + 3) = 0」から共通因数を取り出すと、次のようになります。

(x + 1)(x^2 – 4) = 0

ここで、(x^2 – 4)は差の二乗として因数分解できます。

差の二乗を使って(x^2 – 4)をさらに因数分解します。

(x + 1)(x – 2)(x + 2) = 0

これで式は「(x+2)(x-3)^2 = 0」に変形されました。答えとして、xの値は-2と3の2重解となります。

方程式「x^3 + x^2 – 8x – 12 = 0」を「(x+2)(x-3)^2 = 0」の形にするためには、まずはグループ化し、共通因数を取り出して因数分解を進めました。その結果、最終的に2つの因数に分解することができました。この方法を使うことで、複雑な三項式を簡単に解くことができます。