数学の問題で、点を原点を中心に回転させる際に現れる式について解説します。具体的には、点P(2, -3)を原点を中心にπ/3だけ回転させる問題で、なぜ「rcos(π/3 – α) = x」が成り立つのかを理解します。この問題を解くためのステップとその背後にある数学的な理論を見ていきましょう。
問題の整理と理解
まず、点P(2, -3)を原点を中心にπ/3だけ回転させるという問題です。この問題では、点Pの位置と回転後の新しい位置を求める必要があります。回転移動のためには、回転角度と点の座標を用いて新しい座標を求めます。
点Pの座標は(2, -3)です。ここで、p(2, -3)からQ(x, y)に変換するために、回転移動を行います。回転角度はπ/3（60度）です。この問題では、三角関数を用いて新しい座標を求めることになります。
回転行列と三角関数の利用
回転移動を表現するために、回転行列を用います。回転行列は次のように表されます。
R(θ) = [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]
ここでθは回転角度です。回転角度π/3のとき、回転行列R(π/3)を使うと、点Pの新しい座標Q(x, y)は次のように計算できます。
x = 2 * cos(π/3) – (-3) * sin(π/3)
y = 2 * sin(π/3) + (-3) * cos(π/3)
この計算を行うと、点Pが回転後にどこに移動するのかがわかります。
rcos(π/3 – α) = x の意味
さて、問題に出てきた式「rcos(π/3 – α) = x」ですが、ここではrは点Pの原点からの距離を表し、αは点Pとx軸の正の向きとのなす角を意味します。これを理解するために、まず点Pの座標(2, -3)から、rを求めます。
rは原点Oから点Pまでの距離で、ピタゴラスの定理を使って次のように求めます。
r = √(2^2 + (-3)^2) = √(4 + 9) = √13
次に、αは点Pとx軸とのなす角です。この角度は、三角関数を使って求めることができます。回転角度π/3とαを用いた式が「rcos(π/3 – α) = x」になります。この式が成り立つ理由は、回転後のx座標がrcos(π/3 – α)で表されるからです。
まとめ
点を原点を中心に回転させる問題では、回転行列を使って新しい座標を求めることができます。「rcos(π/3 – α) = x」という式は、回転後のx座標が点Pからの距離rと回転角度π/3、そして点Pとx軸とのなす角αを使って表されることを示しています。この式を理解することで、回転移動の理論とその応用について深く理解することができます。
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