この問題では、2次方程式 x² + kx + k² + 3k – 9 = 0 が相異なる2つの整数解を持つような、整数kの値を求める方法について解説します。2次方程式の解法の基本を理解し、必要な条件を導く方法を具体的に説明します。
問題の設定
与えられた方程式は x² + kx + k² + 3k – 9 = 0 です。この方程式の解が整数解であるための条件を考えます。
まず、この方程式は k に依存しています。したがって、k の値を変えることによって、異なる解を得ることができます。目標は、この方程式が「相異なる2つの整数解」を持つようなkを求めることです。
2次方程式の解の公式を使う
2次方程式 ax² + bx + c = 0 の解は、解の公式を使って求めることができます。解の公式は次の通りです。
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
ここで、a, b, cは方程式の係数です。与えられた方程式 x² + kx + k² + 3k – 9 = 0 について、a = 1, b = k, c = k² + 3k – 9 です。
したがって、解の公式を使うと、解は次のようになります。
x = (-k ± √(k² – 4(1)(k² + 3k – 9))) / 2
判別式を使って解の条件を求める
解が実数であるためには、判別式が非負でなければなりません。判別式Δは、解の公式の中で√の部分に相当する部分です。判別式Δを求めると、次のようになります。
Δ = k² – 4(1)(k² + 3k – 9) = k² – 4(k² + 3k – 9)
これを展開すると、Δ = k² – 4k² – 12k + 36 = -3k² – 12k + 36 となります。
解が異なる整数解であるためには、判別式が完全平方数でなければなりません。つまり、Δ = -3k² – 12k + 36 が完全平方数である必要があります。
具体的な値を求める
ここで、Δ = -3k² – 12k + 36 が完全平方数になるようなkの値を求めます。Δが平方数になるための条件を満たすkを調べることで、整数解を得ることができます。
詳細な計算により、k = -3, k = 1 という整数値が得られることが分かります。このkの値が、それぞれ異なる2つの整数解を持つ条件を満たします。
まとめ
与えられた方程式 x² + kx + k² + 3k – 9 = 0 が相異なる2つの整数解を持つための整数kの値は、k = -3 および k = 1 です。このように、2次方程式の解法では判別式を用いて解の存在条件を求め、条件を満たすkの値を求めることが重要です。
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