2次関数の問題において、グラフを平行移動した後の最大値を求める方法について解説します。特に、軸の位置関係における場合分けがなぜ2つのケースで説明されるのか、という点についても詳しく触れます。
問題の概要と設定
問題は次のようになります。関数 f(x) = x² + ax + b のグラフを x 軸方向に a だけ平行移動した関数 g(x) の最大値を求めなさいという内容です。
まず、グラフの軸の位置が重要になります。特に x = 1/2 という位置が問題となるため、軸と定義域の中心との関係を理解することが必要です。定義域は -1 ≦ x ≦ 2 です。
軸と定義域の中央との位置関係
2次関数のグラフでは、軸の位置が最大値や最小値を決めます。ここでのポイントは、定義域の中央 x = 1/2 と、グラフの軸との位置関係にあります。もし軸が x = 1/2 よりも左にあれば、最大値は x = 1/2 で得られます。一方、軸が x = 1/2 より右にあれば、最大値は定義域の端、つまり x = -1 か x = 2 で得られます。
軸が x = 1/2 と一致する場合には、最大値がその位置にあります。これらの関係を踏まえて、2つのケースに分けて問題を解くことができます。
場合分けの理由と解説
授業で教わったように、軸の位置に応じて場合分けを行うことで、問題を効率的に解けます。場合分けの基本的なアプローチは次の通りです。
- 軸が x = 1/2 より左にある場合
- 軸が x = 1/2 より右にある場合
解説では、なぜ「中央より軸が小さい」「中央と軸が等しい」「中央より軸が大きい」の3つのケースではなく、2つに分けているのかという疑問がありましたが、これは単純に軸の位置が定義域の中央と比較して相対的にどの位置にあるかという違いに過ぎません。
具体的な計算手順
まず、関数 g(x) = (x – a)² + b という形になります。このとき、最大値は軸の位置によって異なるため、x = 1/2 における値を計算するか、x = -1 または x = 2 のどちらかで最大値が得られることを確認します。計算方法は、単純な平方完成を用いることで解決できます。
まとめ
2次関数の最大値を求めるためには、まずグラフの軸の位置と定義域の中央との関係をしっかり理解し、その上で場合分けを行うことが重要です。授業で教わった3つのパターンと解説で使われている2つのパターンの違いは、軸と定義域の中央の関係に過ぎないので、理解しておくと問題がスムーズに解けます。
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