この問題では、正四面体OABCの点Dと点Eを使って、ベクトル、面積、体積を求める方法について解説します。まずは、与えられた情報を整理し、問題を順を追って解いていきます。
問題の整理と理解
問題は、1辺の長さが4である正四面体OABCを考え、点Dが線分ABの中点、点Eが線分BC上でBE=3となるように取られています。与えられた式に従って、点D、点E、ベクトルの長さや角度を求めていきます。
与えられている式は、以下のように整理されています：
OD=ア√イ、OE=√ウエ、DE=√オ、cosθ=√カキ/クケ、△ODEの面積はコ√サ/シ、立体の体積はスセ√ソ/タπ
ステップ1：ベクトルの長さOD, OE, DEの計算
まず、OD, OE, DEの長さを求めます。これには、座標を使った計算を行います。正四面体OABCの各点の座標を設定し、ベクトルの長さを計算します。
1辺の長さが4の正四面体の各点の座標を次のように設定します：
O(0, 0, 0), A(4, 0, 0), B(2, 2√3, 0), C(2, √3, 2√3)
点Dは線分ABの中点なので、その座標はAとBの中点となり、Dの座標は(3, √3, 0)です。同様に、点Eの座標を求め、OD, OE, DEの長さを計算します。
ステップ2：cosθの計算
次に、∠ODEの角度θに関するcosθを求めます。cosθは、ベクトルODとOEの内積を使って計算します。ベクトルの内積公式を使って、cosθ = (OD・OE) / (|OD| × |OE|) の形で計算できます。
計算結果に基づいて、cosθ = √21 / 14という結果が得られます。
ステップ3：面積と体積の計算
△ODEの面積を求めるためには、ベクトルの外積を使って面積を求めます。具体的には、ベクトルODとベクトルOEの外積の大きさを求め、面積を計算します。
立体の体積を求めるためには、△ODEの面積を使って、直線ODを軸として1回転させた際の体積を求めます。これには、円環の断面積を使った回転体の体積公式を適用します。
まとめ
この問題では、正四面体OABCの点D、点Eを使って、ベクトルの計算や角度の計算、面積や体積を求める方法を学びました。特に、座標を使ったベクトルの長さの計算や、内積・外積を使った計算方法が重要です。これらの計算手順を理解し、実際の問題に適用することで、正確な解答を得ることができます。
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