この問題では、点(-1,4)を通り、直線2x + 3y + 4 = 0に平行な直線と垂直な直線の方程式を求める方法を解説します。まずは平行な直線と垂直な直線の性質を理解し、計算方法を順を追って説明していきます。
1. 直線の傾きの求め方
まず、与えられた直線2x + 3y + 4 = 0の傾きを求めます。直線の傾きは、y = mx + bの形に変形することで求めることができます。まず、与えられた直線をyについて解きます。
2x + 3y + 4 = 0 → 3y = -2x - 4 → y = -2/3x - 4/3
ここで、直線の傾きmは-2/3です。この直線に平行な直線と垂直な直線の傾きについては、次で詳しく説明します。
2. 平行な直線の方程式
平行な直線の傾きは、元の直線と同じです。したがって、与えられた点(-1,4)を通り、傾き-2/3の直線の方程式を求めます。点と傾きが分かっているので、点-1,4と傾き-2/3を使って点傾きの公式を適用します。
y - y1 = m(x - x1)
ここで、m = -2/3、点(x1, y1) = (-1, 4)です。代入すると。
y - 4 = -2/3(x + 1)
これを展開すると。
y - 4 = -2/3x - 2/3
さらに整理して。
y = -2/3x + 10/3
これが、点(-1,4)を通り、直線2x + 3y + 4 = 0に平行な直線の方程式です。
3. 垂直な直線の方程式
垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数の符号反転です。元の直線の傾きは-2/3なので、垂直な直線の傾きは3/2となります。点(-1,4)を通り、傾き3/2の直線の方程式を求めるために、再び点傾きの公式を使います。
y - 4 = 3/2(x + 1)
これを展開すると。
y - 4 = 3/2x + 3/2
さらに整理して。
y = 3/2x + 11/2
これが、点(-1,4)を通り、直線2x + 3y + 4 = 0に垂直な直線の方程式です。
4. まとめ
この問題では、点(-1,4)を通り、直線2x + 3y + 4 = 0に平行な直線と垂直な直線の方程式を求めました。
平行な直線の傾きは元の直線と同じ-2/3であり、垂直な直線の傾きはその逆数で3/2です。それぞれの傾きと与えられた点を使って、点傾きの公式に代入することで、最終的な方程式を求めることができます。
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