同時確率密度関数と周辺確率密度関数の理解

確率統計の同時確率密度関数と周辺確率密度関数に関する質問ですね。特に、同時確率密度関数における積分範囲や、周辺確率密度関数の求め方についての疑問です。これらの問題は、確率論の基礎を理解するために重要です。この記事では、あなたの疑問に対する解答をわかりやすく説明します。

1. 同時確率密度関数の積分範囲について

同時確率密度関数f(x, y)を定義する際、積分範囲はその関数が有効な範囲に基づいて設定されます。例えば、f(x, y) = 0 が x, y の特定の範囲で成り立つ場合、その範囲に基づいて積分を行います。質問で挙げられたように、f(x, y) の有効範囲が 0 < y < x であれば、y の積分範囲は 0 から x となります。x の範囲は 0 から ∞ であり、y の範囲がそれに従って決まる理由は、y が x 未満でなければならないからです。

2. 周辺確率密度関数の求め方

周辺確率密度関数は、同時確率密度関数を特定の変数で積分して求めます。例えば、y の周辺確率密度関数 f_y(y) は、同時確率密度関数 f(x, y) を x について積分して求めますが、その積分範囲は、y の値に依存して x の最小値と最大値を決定します。質問で触れられている通り、x の積分範囲は 0 から ∞ ではなく、0 から y となります。これは、y の周辺確率密度関数を求める際に、x が y より小さい範囲で積分するためです。

3. なぜxの積分範囲が0からyになるのか

同時確率密度関数の特定の変数について積分する際、その積分範囲は関数が定義された範囲に基づいて決まります。x の積分範囲が 0 から y である理由は、f(x, y) が 0 < y < x という条件下で定義されており、y より大きい x の値は無効だからです。したがって、x の範囲は常に 0 から y までと決まります。

4. まとめ

同時確率密度関数と周辺確率密度関数を扱う際の積分範囲は、関数が定義されている範囲に依存します。y の周辺確率密度関数を求めるための積分範囲が 0 から y である理由は、x が y より小さい範囲で定義されるためです。この理解を深めることで、確率論をより効果的に学ぶことができます。