この問題では、xy平面上での2点A(1,7)とB(5,5)を通り、y軸に接する2つの円C₁とC₂の方程式を求め、さらに直線l:y＝3x/4がC₁と接する条件とxy平面を分ける部分数について解説します。具体的に、円の中心が垂直二等分線に関係する理由や、接線との関係を考えながら解いていきます。
1. 円C₁とC₂の方程式を求める
まず、問題文の通り、2点A(1,7)とB(5,5)を通る円がy軸に接するという条件から、円の方程式を求めます。2つの円の中心は、AとBを結ぶ線分ABの垂直二等分線上にあります。なぜ垂直二等分線上に中心が来るのかというと、円の半径はy軸に接するため、円の中心からy軸までの距離が半径と等しく、またABの垂直二等分線が中心を通るという円の性質を利用しています。
その結果、円C₁とC₂の方程式は次のように求められます。
- C₁: (x-5)^2 + (y-10)^2 = 25
- C₂: (x-5/2)^2 + (y-5)^2 = 25/4
2. 接線との関係とmの値
次に、直線l:y＝3x/4がC₁と接する条件を求めます。接線と円が1点で接するためには、接点における直線と円の半径が直角でなければなりません。このため、接線の傾きmと円の中心を使って、接線の方程式と円との関係を求めます。
解を進めると、接線の傾きmは3/4となります。この傾きが接線と円の接触条件を満たすため、m＝3/4となります。
3. xy平面の分割数
最後に、円C₁、C₂、直線lによってxy平面がいくつの部分に分割されるかを求めます。円と直線が交わるとき、平面は最大で4つの部分に分割されますが、実際には円と直線が接するだけで交点が1点であるため、計算においては6つの部分に分割されることがわかります。
4. まとめ
この問題では、円の中心が垂直二等分線上に位置する理由や、接線と円が接する条件を理解し、円の方程式と直線との関係を求めました。解答において、円C₁とC₂の方程式を求める際に垂直二等分線が利用され、また接線との関係をm＝3/4で求めました。最終的に、xy平面は6つに分割されることが確認されました。
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