自由落下と反発係数：衝突後の跳ね上がる高さの計算方法

物理の問題で、自由落下してきた小球が衝突後に跳ね上がる高さを求める問題があります。今回は、反発係数が与えられた状況で、小球が衝突後にどれくらいの高さまで跳ね上がるのかを解説します。

問題の設定と反発係数の意味

まず、問題の設定を確認します。小球は80cmの高さから自由落下し、衝突後に跳ね上がります。ここで重要なのは、「反発係数」という値です。反発係数は、衝突後の反発力と衝突前の力の比率を示すもので、0.50の反発係数は「エネルギーの半分が反発して戻る」と解釈できます。

衝突前のエネルギーは、重力による位置エネルギーに相当します。このエネルギーは、衝突後に一部が変換され、残りが運動エネルギーとして小球に伝わり、跳ね上がる高さを決定します。

自由落下において、物体の位置エネルギーは「mgh」で表されます。ここで、mは小球の質量、gは重力加速度（9.8 m/s²）、hは高さです。衝突前に小球が持つ位置エネルギーは、80cm（0.8m）からの落下に相当し、そのエネルギーが衝突後に反発して戻ることになります。

反発係数が0.50の場合、衝突後のエネルギーは、衝突前のエネルギーの半分に相当します。エネルギーが半分になると、跳ね上がる高さも半分になります。したがって、元の高さの50%にあたる40cmに達することがわかります。

反発係数0.50により、元の高さの半分、つまり80cm × 0.50 = 40cmが跳ね上がる高さとなります。しかし、この計算だけでは問題が解決しません。問題文では「反発後の高さが20cmである理由」について尋ねています。

これは、反発後のエネルギーが完全に効率的に伝達されていない場合、つまり他の要因が影響している可能性を示唆しています。実際の問題では、エネルギー損失がある場合、跳ね上がる高さが理論的な計算よりも低くなることがあります。

反発係数0.50の状況では、衝突後のエネルギーが半分になるため、理論的には跳ね上がる高さが元の高さの半分（40cm）となります。しかし、実際の物理環境では、エネルギー損失や摩擦の影響があるため、計算通りにはいかず、最終的に20cm程度の高さになる場合があります。

このような物理的な現象では、理論的な計算と実際の結果が一致しないことがよくあります。従って、問題の設定においては、エネルギー損失を考慮することが重要です。