固有ベクトルは線形代数における非常に重要な概念であり、特に行列の対角化や、データ解析、物理学、機械学習などの分野で広く使用されます。この記事では、固有ベクトルの定義からその計算方法、そして実際の応用例までをわかりやすく解説します。
1. 固有ベクトルとは
固有ベクトル（Eigenvector）は、ある行列を適用したときに、その方向が変わらずにスカラー倍だけされるベクトルです。より正式には、行列Aとベクトルvが次の条件を満たすとき、vはAの固有ベクトルであり、λは固有値です。
A * v = λ * v
2. 固有ベクトルの意味
簡単に言うと、固有ベクトルは、行列がベクトルを変換する際に、方向は変わらずに長さが変わるだけという特別なベクトルです。これは、行列が行う変換の中で、方向を変えない唯一のベクトルを見つけるという考え方です。
3. 固有ベクトルの計算方法
固有ベクトルを求める方法は、まずその行列Aの固有値を求め、次にその固有値に対応する固有ベクトルを計算するという流れになります。固有値λは、次の方程式の解として求めることができます。
det(A – λI) = 0
ここで、Iは単位行列です。この方程式を解くことで、固有値λを得ることができます。固有値がわかれば、それに対応する固有ベクトルvは、次の方程式を解くことで求めることができます。
(A – λI) * v = 0
4. 固有ベクトルの応用
固有ベクトルは、さまざまな分野で重要な役割を果たします。例えば、データ解析においては、主成分分析（PCA）に利用され、物理学では量子力学や振動の解析に使われます。また、機械学習の分野では、モデルの安定性や性能評価にも用いられます。
5. まとめ
固有ベクトルは、線形代数における非常に強力で重要な概念です。数学的には、行列の変換によるベクトルの方向の変化を理解するために不可欠であり、実世界の問題においても広く応用されています。固有ベクトルを理解することは、さまざまな数学的および実用的な問題を解決する鍵となります。
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