この数列の和を求める問題では、与えられた数列が等比数列に該当するのか、それとも階差数列の形になるのかがポイントとなります。質問では「これは等比数列の和」と記載されていますが、階差数列についての理解も重要です。
1. 問題の数列の形式
与えられた数列は、2, 2+6, 2+6+18, 2+6+18+54, ・・・という形です。最初に注目すべきは、数列の各項が前の項に何倍かしていることです。この特徴は等比数列に類似しています。ここで、初項2を基準に、次の項は前の項に6、18、54と増加しています。
2. 等比数列とは
等比数列とは、隣接する項の比が常に一定である数列です。例えば、a, ar, ar^2, ar^3,・・・という形の数列では、各項が前の項にr（公比）を掛けることで得られます。この数列において、各項が前の項に6、18、54倍されている点から、実はこの数列は等比数列の一例です。
このような数列に対して、等比数列の和の公式を使って、与えられた数列の初項から第n項までの和を計算できます。公式は次の通りです：
S_n = a * (1 – r^n) / (1 – r)（r ≠ 1）
3. 階差数列とは違う
質問にある「階差数列」というのは、前の項との差を計算するような数列を指します。例えば、各項が前の項との加減差で進んでいくような数列です。しかし、今回の数列の特徴は、項の間に一定の比（6, 18, 54）があるため、階差数列とは異なります。
この数列は、各項が等比的に増加しているため、階差数列の形式ではなく、正しくは等比数列に基づいています。
4. 結果の確認と公式の適用
与えられた数列の和を求めるために、等比数列の和の公式を使いましょう。問題の答えにあるように、最終的な式は「3^n + 1/2 – n – 3/2」になるとされています。これを確認し、数列の各項の合計を計算することで解答にたどり着きます。
5. まとめ
与えられた数列は等比数列の特徴を持っており、階差数列ではないことが分かりました。数列の和を求めるには等比数列の公式を使用するのが正解です。階差数列については、隣接する項の差が一定である点に注目することで、より具体的な理解が深まります。
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