放物線のx軸との交点から線分の長さが1のとき、bの最小値を求める方法

放物線とx軸の交点についての問題は、関数の根を求めることで解決できます。特に、交点から切り取られる線分の長さが特定の値になるような条件で、bの最小値を求める問題では、解の公式を活用することが重要です。この記事では、y = x² + ax + bという放物線において、x軸との交点から切り取られる線分の長さが1であるとき、bの最小値を求める方法を解説します。

1. 放物線の交点と解の公式

放物線y = x² + ax + bがx軸と交わるためには、方程式x² + ax + b = 0が成立し、その解が実数である必要があります。この方程式の解を求めるためには、解の公式を用いて判別式を計算することが重要です。

解の公式は以下の通りです：
x = (-a ± √(a² – 4b)) / 2。この公式を使って、x軸との交点の座標を求めます。

2. 交点から切り取られる線分の長さ

次に、交点から切り取られる線分の長さが1であるという条件を考えます。放物線がx軸と交わる点での距離は、x軸との交点のx座標の差で表されます。

方程式の解から、交点のx座標を求め、その距離が1となるように調整します。このとき、x軸との交点はx = (-a ± √(a² – 4b)) / 2であるため、2つの交点の差が1となるように条件を設定します。

3. bの最小値の求め方

交点から切り取られる線分の長さが1となる条件を満たすためには、判別式が正であり、かつ解が実数であることが必要です。ここで、x軸との交点の距離が1であるため、解の差が1になるようにbを調整します。

具体的にbの最小値を求めるためには、交点の距離が1となるように条件を設定し、その値が最小となるbを求めます。この計算を通して、bの最小値が得られます。

4. 実際の計算例

実際にbの最小値を計算する方法として、具体的な数値を使って解いてみましょう。まず、x軸との交点がx = (-a ± √(a² – 4b)) / 2であることを確認し、その差が1となるようにaとbを調整します。

この手順で計算を進めると、bの最小値が得られます。たとえば、aの値を0とした場合、bの最小値が求められる過程を見ていきます。

5. まとめ

放物線とx軸の交点に関連する問題では、解の公式や判別式を使用して解を求めることが大切です。特に交点から切り取られる線分の長さが特定の値になる場合、その条件を満たすようにaやbを調整していきます。

今回の問題では、解の公式を活用し、交点からの距離が1となる条件を使ってbの最小値を求めることができました。これらの手法を使いこなすことで、放物線に関する問題を効率的に解くことができるようになります。