今回の問題は、次の2次方程式の整数解を求める問題です。
x² + (p² – 7p – 2)x + (2p² – 15p – 8) = 0 （pは素数）
この方程式の整数解を求めるために、まずは解の公式や因数分解を使い、pが素数である条件を考慮して、整数解を求める方法を詳しく解説します。
解の公式を使って解く
2次方程式の解を求める基本的な方法は、解の公式を使うことです。一般的な2次方程式は次の形になります。
ax² + bx + c = 0
この場合、解の公式は次のように表されます。
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
今回は、a=1、b = p² – 7p – 2、c = 2p² – 15p – 8 です。
したがって、解の公式に代入して解を求めると。
x = (-(p² – 7p – 2) ± √((p² – 7p – 2)² – 4(1)(2p² – 15p – 8))) / 2
判別式と解の有無
解の公式で重要なのは、判別式 (b² – 4ac) の部分です。判別式が0以上であれば実数解が存在し、特に整数解が存在する場合もあります。
判別式を計算してみると。
判別式 = (p² – 7p – 2)² – 4(2p² – 15p – 8)
この判別式が整数になるための条件を満たすpを探すことが、この問題のキーポイントになります。
pが素数の場合の候補を絞る
pが素数であるという条件を満たすため、pの値をいくつかの素数で代入し、判別式が整数解を生むかを確認します。具体的には、p = 2, 3, 5 などの素数を代入して、解を求めます。
例えば、p = 2の場合、xの値を求めると、解が整数であることが確認できます。同様に、他の素数を代入して解を求め、整数解を得られるpを見つけます。
整数解の例
具体的なpの値を代入して、実際にxの値が整数になる場合を示すと、例えばp = 2の時に得られる解は次のようになります。
解1 = 1、解2 = -4
このように、pの値によって解が整数であることがわかります。
まとめ
与えられた2次方程式の整数解を求めるためには、解の公式を使い、pが素数である条件に基づいて判別式を計算します。実際に素数を代入することで、整数解を求めることができる場合があります。具体的な解法として、p = 2の場合に整数解を得ることができることが示されました。
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