二次関数の平行移動と最大値・最小値の求め方：数学問題の解説

二次関数に関する問題を解く際、関数の平行移動や最大値・最小値の計算は重要なスキルです。この問題では、x軸方向に平行移動した二次関数の最大値を求める方法や、条件を満たすaの値を求める問題が含まれています。これらの問題をしっかり理解することで、数学の問題を効率よく解くことができるようになります。

1. 二次関数の平行移動と新しい関数の定義

問題にある二次関数f(x) = x² + ax + bは、aとbが定数であるとされています。この関数をx軸方向にaだけ平行移動したグラフをg(x)とした場合、g(x)は次のように表されます。

平行移動の影響で、g(x)はf(x)をx軸方向にaだけシフトさせた形になります。この操作によって、新しい二次関数g(x)の形が定まります。具体的な式の変形は次のように行います。

-1 <= x <= 2の範囲におけるg(x)の最大値を求めるためには、まずg(x)の具体的な式を出すことが必要です。g(x)を求めるためには、f(x)の定義を元に平行移動を行い、さらにその最大値をx軸の範囲に沿って計算します。

最大値を求める方法は、g(x)の式が二次関数であることを考慮し、頂点の座標を用いるか、または区間内での関数の変化を調べる方法があります。具体的には、-1 <= x <= 2の範囲内でg(x)がどのように変化するかを確認し、その最大値を計算します。

次に、a > 0の条件の下で、-1 <= x <= 2におけるf(x)の最小値が0であり、g(x)の最大値が3であるという条件からaの値を求めます。このような問題では、与えられた条件を使って方程式を立て、aを求めることが重要です。

まず、f(x)の最小値が0であることから、関数f(x)の頂点のy座標が0であることを考えます。次に、g(x)の最大値が3であることから、g(x)の頂点が最大値3を取る場所を計算します。この2つの条件を組み合わせることで、aの値を求めることができます。

ここで、実際の計算例を紹介します。まず、g(x)の最大値を求めるために、g(x)の式を元に最大値を計算します。その後、aの値を求めるための方程式を立て、具体的に計算していきます。

例えば、g(x)の式がx² + (a-1)x + bに変形されたとしましょう。この式において、最大値を求めるためには、x = – (a-1)/2の位置で最大値が得られることを確認します。この位置での値がg(x)の最大値に一致するようにaを求めます。

二次関数の平行移動に関する問題では、関数の変形をきちんと理解し、頂点の計算を行うことが重要です。また、与えられた条件を使ってaの値を求める問題もありますが、これには関数の最小値や最大値の計算が大きな鍵となります。

数学の問題では、問題文の条件をよく確認し、式を変形することで解ける場合が多いです。これらの問題に慣れることで、数学の問題解決能力を高めることができます。