留数定理の計算とその適用：複素積分の理解

留数定理を用いた複素積分の計算については、複素解析の基本的なテクニックの一つであり、特に積分経路が円周に沿った場合に有効です。ここでは、与えられた積分に対して留数定理を適用する理屈をわかりやすく解説します。

留数定理とは？

留数定理は、複素解析において重要な定理であり、閉じた曲線に沿った積分を、囲まれた特異点（極）の性質を用いて計算する方法です。具体的には、積分経路が複素平面内で囲む領域の中にある特異点の留数を合計することで、積分を計算することができます。

問題の設定と変換

質問で挙げられている積分は、∫dθ 0→2pi 1/(5 + 4cosθ)という形です。この積分を計算するために、まずは複素数平面上での積分に変換します。z = exp(iθ)という変換を用いると、dθ = -idz/zという関係が得られます。この変換により、cosθはcosθ = (z + z^-1)/2と表せます。

留数定理を適用するためのステップ

次に、得られた式を使って積分を計算するためには、留数定理を適用します。問題の積分は、閉じた曲線（円周積分）に沿った積分であり、式は-i∮dzとなり、計算対象となる関数は1 / (2z^2 + 5z + 2)になります。この関数は、複素平面で特異点を持ち、その留数を求めることで積分値が求まります。

特異点と留数の計算

特異点を求めるために、まず分母の式2z^2 + 5z + 2を解く必要があります。この二次方程式の解は、特異点となり、それぞれの留数を計算します。留数定理を使うことで、特異点の周りの積分を簡単に求めることができます。これにより、複雑な積分計算が短時間で解決できるのです。

まとめ

留数定理は、複素積分を解く強力なツールです。与えられた積分を複素平面上で表現し、留数定理を適用することで、積分の計算が簡単に行えます。今回の問題では、特異点を求め、その留数を使って最終的な解を得ることができました。この方法を理解することで、他の複素積分の問題にも応用できます。