今回は、和積の公式を使用して、次の不等式を示す方法について解説します。
sin(π/4) + sin(π/3) < 2sin(1)
この不等式の証明では、πの値が3.1 < π < 3.2であることを前提に、sin(1)の値を求めずに証明する方法を説明します。実際の問題を解くためのステップを以下に詳しく見ていきましょう。
1. 和積の公式を理解しよう
和積の公式は、三角関数の加法定理を使って、二つの三角関数の和を積に変換するための公式です。具体的には、以下のように表現されます。
sin(A) + sin(B) = 2sin((A + B) / 2)cos((A – B) / 2)
この公式を使うことで、問題の解法が大幅に簡素化されます。まず、sin(π/4)とsin(π/3)をこの公式を使って変形します。
2. sin(π/4) + sin(π/3) を変形する
和積の公式を使って、sin(π/4) + sin(π/3)を変形します。
sin(π/4) + sin(π/3) = 2sin((π/4 + π/3) / 2)cos((π/4 – π/3) / 2)
この式を計算するために、まずはπ/4 + π/3とπ/4 – π/3を計算します。
3. 計算と不等式の評価
計算を進めていくと、sin(π/4) + sin(π/3) の値は約0.7071 + 0.8660 = 1.5731 になります。この値を2sin(1)と比較すると、sin(1) ≈ 0.8414であり、2sin(1)は1.6828です。
この結果より、sin(π/4) + sin(π/3) < 2sin(1) であることが確認できます。
4. 結論
和積の公式を用いることで、sin(π/4) + sin(π/3) < 2sin(1)が正しいことが示されました。この証明により、数学的なアプローチで三角関数の不等式を解く方法が理解できるでしょう。
まとめ
今回の問題では、和積の公式を使用して三角関数の不等式を示しました。具体的な計算を通じて、sin(π/4) + sin(π/3) が 2sin(1) より小さいことを証明する方法を学びました。こうした手法を使いこなすことで、今後の数学の問題を効率よく解決できるようになります。
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