自然数 m に関する数学の問題解説：k2 - ℓ2 = 3m と x(x + 3m) の解法

数学の問題で、自然数 m に関する式を解く方法について解説します。以下の問題を解くためには、数式を適切に変形していく必要があります。特に、k2 – ℓ2 = 3m や x(x + 3m) に関する問題の解法を、m を用いて表現します。

（1）k2 – ℓ2 = 3m の解法

まず、k2 – ℓ2 = 3m という式を考えます。この式は差の平方の形をしており、次のように因数分解できます。

(k – ℓ)(k + ℓ) = 3m

この式が成り立つ自然数の組 (k, ℓ) を求めるには、まず m の値に対して 3m の因数分解を行い、k – ℓ と k + ℓ がその因数に一致するような組み合わせを探します。

例えば、m = 1 の場合、3m = 3 です。この場合、k – ℓ と k + ℓ の積が 3 となる組み合わせを探すことになります。

一般的に、m を与えられた場合、3m の因数をすべて求め、それらを基に k – ℓ と k + ℓ の組み合わせを見つけることで、自然数の組 (k, ℓ) を求めることができます。

次に、x(x + 3m) が整数となる自然数 x を求めます。この式は次のように展開できます。

x^2 + 3mx

この式が整数になるためには、x と 3m の関係を考える必要があります。x(x + 3m) が整数となるためには、x が m の倍数でない自然数であることが必要です。

具体的には、x が m の倍数でない場合にこの式が成り立つため、x = m + 1 や x = m + 2 のような形で解を求めることができます。これを m に対して解くと、m の値によって x の自然数の範囲が決まります。

最後に、x(x + 3m) が整数となる自然数 x の個数を求めます。この場合、x の範囲を決めるために、x(x + 3m) が整数である条件を満たす x の個数を数える必要があります。

自然数 x の範囲を求めるためには、x の値を 1 から m まで変化させ、各場合で整数解となる x の個数を数えます。これにより、x の個数を m を用いて表現することができます。

このように、k2 – ℓ2 = 3m や x(x + 3m) に関する問題を解くためには、因数分解や整数条件を理解し、m を用いて解を求める方法を習得することが重要です。問題を整理して解法を段階的に進めることで、自然数 m に関する数学の問題を効率的に解くことができます。