微分方程式の基本解と安定性の調査方法：dx/dt = x + 2y, dy/dt = -4y - 3y の解析

このページでは、与えられた微分方程式 dx/dt = x + 2y と dy/dt = -4y – 3y の基本解を求め、0 の安定性を調べる方法を解説します。まずは微分方程式の標準的な解法を使い、次に安定性を判断するための手順を詳しく見ていきます。

与えられた微分方程式

問題は次の2つの微分方程式です。

これらは連立微分方程式であり、x と y の時間変化に関する関係を表しています。最初に、この連立方程式の基本解を求める方法を見ていきましょう。

まず、dx/dt と dy/dt の関係を使って、x と y をそれぞれ独立に解いていきます。連立微分方程式を行列形式で書くと、次のように表せます。

dx/dt = x + 2y
dy/dt = -7y

この方程式を解くために、y の方程式からまず解きます。

dy/dt = -7y は、y(t) = Ce^(-7t) と解けます。ここで C は定数です。

次に、y(t) の解を dx/dt の式に代入して、x(t) を求めます。

dx/dt = x + 2Ce^(-7t)

これを解くと、x(t) は次のように表されます。

x(t) = A + 2C/(7)e^(-7t)

ここで A は定数です。

次に、解 x(t) と y(t) が 0 に収束するかどうか、すなわち 0 の安定性を調べます。

まず、0 の安定性を判断するためには、連立方程式の係数行列の固有値を求めることが有効です。与えられた微分方程式における係数行列は次のようになります。

[[1, 2], [0, -7]]

この行列の固有値を求めるために、行列式を計算します。

det([[1, 2], [0, -7]]) = λ^2 – 6λ + (-7) = 0

この式を解くと、固有値 λ は 6 と -7 になります。

固有値が正と負の両方を持っているため、0 は不安定な固定点であることがわかります。したがって、この系は 0 の周りで安定しません。

この問題では、与えられた連立微分方程式を解き、解の挙動を調べる方法を学びました。x(t) と y(t) の解を求めた後、係数行列の固有値を計算し、0 の安定性を判断しました。固有値が正と負の両方を持つため、0 は不安定な固定点であると結論できます。