実数集合が非可算集合であることの証明と対角線論法の注意点

実数集合が非可算集合であることを証明するために、よく用いられる方法の1つは対角線論法です。しかし、この方法での誤解や注意すべき点もいくつかあります。今回は、実数集合が非可算であることの証明において注意すべきポイントを解説し、指摘された問題を回避する方法についても説明します。

実数集合が非可算集合である証明

実数集合が可算集合であると仮定した場合、すべての実数を列挙できるはずです。しかし、対角線論法を用いると、実数が列挙できないことが明らかになります。

対角線論法では、実数を仮に列挙できたとして、その列挙リストに対して「対角線」を取り、既存の実数リストにない新しい実数を構成することで、元々のリストに含まれない実数が存在することを示します。これにより、実数集合が可算でないことが示されます。

対角線論法の基本的な流れ

対角線論法を用いた証明の基本的な流れは次の通りです。

• 実数を仮にすべて列挙できると仮定し、各実数を小数点以下の数字列としてリストアップする。
• 次に、リストの対角線上の数字を取り、その数字を変更して新しい実数を構成する。
• 変更した実数は、元々のリストには含まれていないことが確定する。
• これにより、実数は列挙できないことが証明される。

指摘された「無限小数を使う方法」の問題

質問者が受けた指摘は、おそらく「無限小数」として新しい数を作ることが数学的に適切でないとされている点にあります。確かに、無限小数のような表現方法で実数を列挙しようとすると、誤った理解を生むことがあります。

対角線論法を正しく使うためには、新しい実数の構成方法において、無限小数を単純に列挙することではなく、「必ずリストに含まれない数を構成する」ことが重要です。無限小数の表現自体は問題ではなく、その生成過程に焦点を当てる必要があります。

回避策：無限小数の扱い方の注意点

無限小数を扱う際には、次のポイントを意識することが重要です。

• 新しい実数を生成する際には、対角線上の数字を変更して、既存の実数リストにない数を作成することが必要です。
• 無限小数として数を置く際、リスト内に含まれている数とは異なる数字を選ぶことで、必ずリストに含まれない数を作り出せます。
• この方法が正当であることを証明するには、無限小数の変換を適切に行い、論理的に新しい実数をリストに加えられないことを明確にする必要があります。

まとめ

実数集合が非可算集合であることを証明するために、対角線論法を使うことは非常に強力な方法です。しかし、無限小数として数を置くことに関して誤解が生じやすいため、対角線論法を使う際は、新しい実数を既存のリストに含まれないように構成する過程をきちんと理解しておくことが重要です。