極座標での面積の求め方：r＝4sin θ の場合

極座標を使った面積計算は、通常の直交座標系での面積計算と少し異なります。特に、範囲が与えられた場合の計算方法について理解しておくことが重要です。ここでは、問題「r＝4sin θ（0≦θ≦π）で囲まれた図形の面積を求める」という課題に取り組み、解法を解説します。

極座標系における面積の公式

極座標での面積は、次の式で求めることができます。

面積 = ∫[a, b] (1/2) * r(θ)^2 dθ

ここで、r(θ)は与えられた関数、aとbはθの範囲です。この問題では、r(θ) = 4sin θ、範囲は0≦θ≦πですので、面積を求めるためにこの公式を使用します。

問題に与えられた関数 r(θ) = 4sin θ を代入し、面積を求める式を立てます。

面積 = ∫[0, π] (1/2) * (4sin θ)^2 dθ

これを計算していきます。

式を展開すると、次のようになります。

面積 = ∫[0, π] (1/2) * 16 * sin^2 θ dθ

面積 = 8 ∫[0, π] sin^2 θ dθ

sin^2 θを簡単に計算するために、三角関数の恒等式 sin^2 θ = (1 – cos(2θ))/2 を使います。

面積 = 8 ∫[0, π] (1 – cos(2θ))/2 dθ

これを積分すると、最終的な面積が求められます。

面積 = 8 * [θ/2 – sin(2θ)/4] (0≦θ≦π)

面積 = 8 * [(π/2) – 0] = 4π

この問題の面積は、最終的に 4π 平方単位となります。極座標系における面積計算では、関数の平方を積分することで解が求められます。範囲がついている場合も、範囲を積分範囲に適切に設定することが重要です。