確率論：n回硬貨を投げる問題とYaが奇数である確率の求め方

この問題では、n回の硬貨投げを行い、その結果からYaの値が奇数である確率を求める方法について解説します。問題文のように、硬貨投げの結果をもとに確率的な関係を求めるのは確率論の基本的な問題の一つです。

問題の概要

問題では、n回硬貨を投げたとき、各回の結果をX1, X2, …, Xnで表し、これらのXが表か裏かによって値が決まります。また、Yaという式に基づいて、Yaが奇数である確率を求めるのが目的です。

具体的には、Yaは以下のように定義されています。

Ya = 2 * (X1 + X2 + … + Xn) – 1

Yaが奇数である条件

Yaが奇数であるためには、Yaが整数の2倍でない値、すなわち1を引いた結果が奇数になる必要があります。この場合、Ya = 2k – 1の形で表されるので、Xの和が奇数であればYaが奇数となります。

したがって、Yaが奇数であるためには、投げた硬貨の結果によって得られるXの和が奇数である必要があります。この条件を満たす確率を求めます。

確率を求める方法

Yaが奇数である確率は、硬貨投げの結果が偶数か奇数かに依存します。各回の投げが独立であり、各投げで表が出る確率は1/2、裏が出る確率も1/2です。したがって、n回投げたときのXの和が奇数となる確率を求めることが次のステップとなります。

n回投げた結果、Xの和が奇数である確率は、二項分布を使って求めることができます。具体的には、X1, X2, …, Xnが表か裏かにより、奇数回表が出る確率を計算します。

例としての計算

例えば、n = 3の場合、3回投げた結果でXの和が奇数となる確率を計算します。各投げが独立しており、確率1/2で表か裏が出るので、表が1回、裏が2回出るような場合を考えます。

二項分布において、k回表が出る確率は、(n choose k) * (1/2)^nで求めることができ、ここでnは試行回数、kは表が出る回数です。計算を進めることで、Yaが奇数である確率を得ることができます。

まとめ

Yaが奇数である確率を求める問題では、硬貨投げの結果によるXの和が奇数となる確率を求めることが鍵です。n回の投げにおける二項分布の確率を用いて、Yaが奇数となる確率を厳密に計算することが可能です。このような確率問題は、実際の試行の結果を予測する上で非常に役立ちます。