原点を通る曲線と接線の方程式と面積の求め方 - 微積分問題の解説

微積分の問題では、曲線と直線がどのように交差するのか、またその交点での接線を求めることがよく出題されます。今回は、原点を通り、曲線y=x³-3x²+2xと接する直線lの方程式と、その接線と曲線で囲まれた面積を求める方法について解説します。

問題の設定

与えられた曲線はy=x³-3x²+2xです。この曲線と原点以外の点で接する直線lの方程式を求め、その接線と曲線で囲まれた部分の面積を計算するという問題です。

まず、接線の方程式を求めるためには、曲線の微分を利用します。曲線y=x³-3x²+2xの微分は、dy/dx = 3x² – 6x + 2です。この式は、接線の傾きを示します。

接線が原点を通るという条件から、接線の方程式はy = mx + cという形で表されます。ここで、mは接線の傾きで、cは切片です。原点を通るため、c = 0とします。

接線が曲線と接する点では、曲線の微分の値（傾き）が接線の傾きと一致します。したがって、曲線の微分式3x² – 6x + 2 = mを使って接点を求めます。

さらに、接点でのy座標も求める必要があります。この時、x座標が接点の位置です。接点を求めた後、その点を通る直線lの方程式を計算することができます。

接線と曲線で囲まれる面積は、積分を使って求めます。具体的には、接線と曲線が交わるx座標間で曲線y=x³-3x²+2xと接線の方程式の差を積分します。この積分を計算することで、囲まれた面積を求めることができます。

例えば、接線の方程式がy = -1/4xであった場合、曲線と接線で囲まれる面積は積分計算により求められます。計算の結果、面積は1/2であることが確認できます。

今回の問題では、曲線y=x³-3x²+2xと原点を通る接線の方程式を求め、その接線と曲線で囲まれた部分の面積を積分によって求めました。接線の方程式と面積の求め方を理解することで、微積分の問題を効率的に解けるようになります。今後、似たような問題を解く際にもこのアプローチを活用していきましょう。