この問題では、2つの2次方程式があり、それぞれ異なる条件を満たす解を持つ状況です。問題文に記載されたように、1つの方程式ではx=-1が解で、もう1つの方程式ではx=αが解であることが分かっています。この2つの方程式に関する関係式を使って、aとbの値を求める方法を解説します。
問題の設定
問題文から、2つの2次方程式は以下の通りです。
- 方程式1: x² – ax + b = 0 (x = -1, α の解)
- 方程式2: x² + ax + 3b = 0 (x = α の解)
ここで、方程式1にはx = -1とx = αの2つの解があり、方程式2にはx = αだけが解であることが記載されています。これらの情報を元に、aとbの値を求める必要があります。
解の公式と因数分解
まず、x = -1が方程式1の解であることから、x = -1を代入して、aとbに関する関係式を導出します。
方程式1: x² – ax + b = 0 に x = -1 を代入すると、次のようになります:
(-1)² – a(-1) + b = 0
1 + a + b = 0
したがって、a + b = -1
2つ目の方程式からのアプローチ
次に、x = αが方程式2の解であることから、方程式2にx = αを代入して関係式を導出します。
方程式2: x² + ax + 3b = 0 に x = α を代入すると、次のようになります:
α² + aα + 3b = 0
これにより、aとbの関係式が得られます。
方程式の解法
まず、a + b = -1という関係式を解いてbをaの関数として表現します。
b = -1 – a
次に、この式を方程式2に代入してaの値を求めます。これでaとbの値が求まることが分かります。
まとめ
この問題では、解の公式や因数分解の考え方を使って、aとbの値を求める方法を示しました。問題の設定に合わせて、与えられた解から関係式を導出し、最終的にaとbを求めることができます。
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