関数 f(x) = (log₁/₃(9x))(log₁/₃(x/3)) の最大値と最小値を求める問題について、詳細な解説を行います。まず、関数の定義とその性質を確認し、次に最大値と最小値を求める方法をステップバイステップで説明します。
関数 f(x) の定義と性質
関数 f(x) は、対数の積として表されます。log₁/₃ は底が 1/3 の対数を意味し、log₁/₃(9x) と log₁/₃(x/3) の積として f(x) が定義されています。対数の性質を利用すると、log₁/₃(a) = -log₃(a) となるため、f(x) は次のように書き換えられます。
f(x) = (-log₃(9x))(-log₃(x/3)) = log₃(9x) * log₃(x/3)
この形にすることで、対数の性質を活用しやすくなります。
最大値と最小値の求め方
f(x) の最大値と最小値を求めるためには、まず f(x) の導関数 f'(x) を求め、その解を用いて f(x) の増減を調べます。
1. 導関数の計算
f(x) = log₃(9x) * log₃(x/3) の導関数を求めるために、積の微分法則を適用します。
f'(x) = (d/dx)[log₃(9x)] * log₃(x/3) + log₃(9x) * (d/dx)[log₃(x/3)]
それぞれの導関数を計算すると。
(d/dx)[log₃(9x)] = 1 / (9x * ln(3))
(d/dx)[log₃(x/3)] = 1 / (x * ln(3))
したがって。
f'(x) = (1 / (9x * ln(3))) * log₃(x/3) + log₃(9x) * (1 / (x * ln(3)))
2. 増減表の作成
f'(x) = 0 となる x の値を求め、その値を用いて増減表を作成します。増減表を作成することで、f(x) の増加・減少の区間を確認できます。
3. 最大値と最小値の確認
増減表から、f(x) の増加から減少に変わる点が最大値、減少から増加に変わる点が最小値となります。具体的な計算により、x = 9 のときに最大値 4 を、x = 1/√3 のときに最小値 -9/4 をとることが確認できます。
まとめ
関数 f(x) = (log₁/₃(9x))(log₁/₃(x/3)) の最大値と最小値を求めるためには、まず関数の性質を理解し、導関数を求めて増減表を作成することが重要です。具体的な計算により、x = 9 のときに最大値 4 を、x = 1/√3 のときに最小値 -9/4 をとることが確認できました。
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