x^n – 1 = (x – 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1) の複素数における成り立ちについて

式「x^n – 1 = (x – 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1)」は、実数においては基本的に成立しますが、複素数の領域でも成り立つのかという疑問について解説します。この式は多項式の因数分解に関する基本的な結果であり、複素数の場合もその性質を保つのです。

複素数における式の成り立ち

まず、式「x^n – 1 = (x – 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1)」が意味するのは、x^n – 1という多項式が、x – 1という一次の因子と、他のn-1次の多項式に分解できるというものです。この式は、実数だけでなく複素数でも成り立つということが証明されています。

複素数の世界では、x^n = 1となるxは、複素平面上でn個の異なる解（n次の単位根）を持つことが知られています。これらの解は、複素数でありながら、式の両辺を満たす点として存在するため、この因数分解式は複素数に対しても適用可能です。

複素数の単位根

x^n – 1 = 0 の解は、「n次の単位根」と呼ばれます。これらは、複素平面上で等間隔に配置された点として表現され、特にx = 1がその一つです。これらの解は、単位円周上に分布しており、n個の異なる解が存在します。

式「x^n – 1 = (x – 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1)」が複素数に対して成り立つのは、これらの解の集合が、因数分解によって得られる各因子に対応するためです。したがって、式は複素数の単位根を利用しても成立します。

式の有用性とその応用

この式は、複素数の範囲でも多項式の因数分解に非常に有用です。特に、複素数の解を求める際に、n次の単位根を利用した計算が可能となります。このような因数分解は、フーリエ解析や複素数の演算、信号処理など、多くの数学的および工学的な分野で応用されています。

また、この式は「x^n – 1」を効率的に計算するための手法を提供し、複素数や実数の計算を簡素化するための基本的なツールとなります。

まとめ

式「x^n – 1 = (x – 1)(x^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1)」は、実数だけでなく複素数に対しても成立します。これは、複素数の単位根を利用した因数分解の結果であり、数学的にも工学的にも有用な結果です。複素数の範囲でも、この式を適用することで、計算を効率化したり、解析を深めたりすることが可能になります。