平面ベクトルの問題で、ある点を通り、特定の直線に垂直な直線の方程式を求める問題はよく出題されます。この記事では、点A(-2,1)を通り、直線3x – 5y + 4 = 0に垂直な直線の方程式を求める方法について、ステップごとに解説します。
問題の理解と方程式の求め方
問題文では、点A(-2, 1)を通り、直線3x – 5y + 4 = 0に垂直な直線を求めるという課題が出されています。まず、直線に垂直な直線の方程式を求めるためには、与えられた直線の傾きと垂直方向の傾きの関係を理解する必要があります。
直線の傾きは、直線の方程式をy = mx + bの形式に変形することで得られます。ここで、mが傾きにあたります。この問題では、直線3x – 5y + 4 = 0が与えられているため、まずその直線の傾きを求めます。
直線の傾きを求める
直線3x – 5y + 4 = 0をy = mx + bの形に変形します。
3x – 5y + 4 = 0をyについて解くと、y = (3/5)x + 4/5となります。したがって、この直線の傾きmは3/5です。
垂直な直線の傾きを求める
2つの直線が垂直であるためには、2つの直線の傾きの積が-1である必要があります。したがって、垂直な直線の傾きをm’とすると、m × m’ = -1となります。
ここで、与えられた直線の傾きmが3/5なので、垂直な直線の傾きm’は、m’ = -5/3となります。
直線の方程式を求める
直線の傾きが-5/3であり、点A(-2, 1)を通る直線の方程式を求めるためには、点Aの座標と求めた傾きを使って、点と傾きを使った直線の方程式を求めます。
直線の方程式は、y – y1 = m(x – x1)の形で求められます。ここで、mは直線の傾き、(x1, y1)は点Aの座標です。よって、m = -5/3, (x1, y1) = (-2, 1)とすると、
y – 1 = (-5/3)(x + 2)となり、これを展開すると、y – 1 = (-5/3)x – 10/3です。
この式を整理すると、y = (-5/3)x – 7/3となります。
最後の整理：整数係数の方程式
整数の係数にするために、すべての項を3倍します。これにより、次のように書き直すことができます。
3y = -5x – 7
さらに、この式を整理すると、3x + 5y + 7 = 0という方程式になります。
まとめ
このように、点A(-2, 1)を通り、直線3x – 5y + 4 = 0に垂直な直線の方程式を求めるためには、まず与えられた直線の傾きを求め、その傾きに垂直な直線の傾きを計算します。その後、点Aを通る直線の方程式を求め、最終的に整数係数に整理することで解答に到達します。このようなベクトルや直線に関する計算は、数学の基本的なテクニックであり、しっかりとした理解が重要です。
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