問題集の解説に登場する「f(f(x)) = x の解にf(x) = x の解が含まれる」という言葉について理解するために、この問題の背後にある数学的な考え方を解説します。特に、なぜ「f(α) = α」が成立するのか、またそれがどのようにして「f(f(x)) = x」の解に影響を与えるのかを詳しく説明します。
問題の設定
まず、解説の中で登場する「f(x) = x」の解をαとします。これは、関数f(x)に対してx = αという値を代入すると、f(α) = αとなるという意味です。これを「固定点」と呼びます。
次に、問題で言われている「f(f(α)) = f(α) = α」とは、関数fを二重に適用した結果が再びαになることを示しています。このような性質を持つαは、関数f(x)が繰り返し適用された場合にどのように振る舞うのかを理解するために重要な要素です。
f(f(x)) = x の解にf(x) = x の解が含まれる理由
ここで、なぜ「f(f(x)) = x の解にf(x) = x の解が含まれるのか」を詳しく考えてみましょう。
まず、f(x) = x の解をαとした場合、これは「f(α) = α」になることを意味します。次に、このαをf(x)に再度適用した場合、f(f(α))が求められます。
ここでf(α) = αという式を代入すると、f(f(α)) = f(α)となり、最終的にf(f(α)) = αが成立します。これはつまり、f(f(x)) = xという方程式の解にαが含まれていることを示しています。
具体的な例で確認する
具体例を挙げてみましょう。例えば、f(x) = x² – 2とすると、この関数の解f(x) = xを求めると、x² – 2 = xとなります。この方程式を解くと、x² – x – 2 = 0という二次方程式が得られ、x = 2またはx = -1となります。
ここで、x = 2を代入してf(f(x))を計算してみると、f(f(2)) = f(2² – 2) = f(2) = 2が成り立ちます。これにより、x = 2がf(f(x)) = xの解であることが確認でき、またf(x) = xの解としても成り立つことがわかります。
まとめ
「f(f(x)) = x の解にf(x) = x の解が含まれる」ということは、関数fの特定の解が二重に適用された場合にもその解が成り立つという事実を示しています。これは、関数の固定点が繰り返し適用されることで、再度同じ値に戻る性質を持つことに由来しています。数学的に言うと、固定点の存在がそのまま解の一部として現れるという重要な考え方です。
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