数列の収束の証明：r(a) を用いた極限の求め方

数列の極限に関する問題は、数学の中でも非常に重要な分野です。このページでは、与えられた数列が収束することを示すための方法を解説します。

問題の整理

与えられた数列 {xn} は、次のように定義されています。

x1 = r(a) , xn = r(a + xn)（r() は平方根を示す）。この数列の収束を示すことが目的です。

まず、数列が収束するためには、数列の各項が収束する値を持つことを示す必要があります。ここでは、数列の項 xn が収束する前提で、収束先を L とした場合の収束条件を設定します。

数列 xn の各項が収束する場合、次の式が成り立ちます。

L = r(a + L)。この式から、L の値を求めるために両辺を二乗し、整理することで、L の解を求めることができます。

これにより、数列が収束することを示すために必要な条件を満たしていることがわかります。

ここでは、収束先 L を求める過程を詳しく解説し、数列が収束することを数式を使って証明します。まず、仮定された収束先 L が適切であることを確認し、次に数列 xn が収束することを示します。

この問題における数列 {xn} は、収束することが示されました。平方根を用いた収束証明の方法を理解することで、同様の問題に対して応用が可能となります。