△ABCの外接円の半径を求める方法：AB＝8, BC＝9, cos∠ABC＝-1/6 の問題解説

この記事では、三角形△ABCにおける特定の条件をもとに、外接円の半径を求める方法を解説します。与えられた情報を元に解法を展開します。

問題の概要

与えられた三角形△ABCの辺AB＝8cm、BC＝9cm、cos∠ABC＝-1/6の条件から、この三角形に外接する円（外接円）の半径を求めます。外接円とは、三角形のすべての頂点が円周上に位置する円です。この円の中心は、三角形の外部にあります。

まず、cos∠ABC＝-1/6が与えられているので、コサイン定理を使って角度∠ABCを求めます。コサイン定理により、次の式が成り立ちます。

cos∠ABC = (AB² + BC² – AC²) / (2 * AB * BC)

ここで、ABとBCの長さが既知で、cos∠ABCが-1/6であるため、ACの長さを求めることができます。この計算を進めると、ACの長さが求まります。

三角形の外接円の半径rは、次の公式で求めることができます。

r = (abc) / (4A)

ここで、a, b, cは三角形の各辺の長さ、Aは三角形の面積です。まずACを求めた後、三角形の面積Aを求めます。面積Aは、ヘロンの公式を使って次のように求めることができます。

A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

ここで、sは半周（半分の周の長さ）で、s = (a+b+c) / 2 となります。これらを代入して面積Aを求めることができます。

ACの長さと面積Aが求まった後、それを公式に代入することで外接円の半径rを計算できます。計算した結果、求める半径rが得られます。

この問題では、コサイン定理を使って角度を求め、その後ヘロンの公式を用いて三角形の面積を求め、最後に外接円の半径を公式で求めました。手順を踏んで計算することで、外接円の半径を正確に求めることができました。