二次関数の最大値を求める問題：長方形の面積の最大値

この問題は、長方形の面積が最も大きくなる時の縦の長さXを求める問題です。長方形を作るために40cmの針金を使用し、Xcmを縦の長さとして、その面積が最大になる点を求めます。

1. 問題の理解

問題では、長さ40cmの針金を使って長方形を作り、その縦の長さXに対して面積が最大になるXの値を求めるものです。針金の長さ40cmが長方形の縦と横の和に相当します。つまり、縦Xと横(40-X)の長さに対応します。よって、長方形の面積Aは、A = X(40-X) で表されます。

2. 面積の式とその最大値

面積A = X(40-X)を展開すると、A = 40X – X² という二次関数の形になります。この式の最大値を求めるためには、頂点の公式を利用します。二次関数の最大値（または最小値）は、X = -b / 2a の式で求めることができます。この式において、a = -1、b = 40 なので、X = -40 / (2 × -1) = 20 となります。

3. 具体的な計算と解説

X = 20cmのとき、縦と横の長さが同じになります。縦が20cm、横も20cmです。このときの面積は、A = 20 × 20 = 400cm²です。これが最大の面積となります。

4. 質問者の誤解について

質問者が混乱していた部分は、最大の面積が100になるという点です。実際には、面積が最大となるXの値は20cmで、面積は400cm²になります。質問で書かれていた「最大の面積が100」というのは誤解です。最大面積は、X = 20で求めることができる400cm²です。

まとめ

長方形の面積が最も大きくなる時の縦の長さXは20cmで、面積は400cm²です。質問者の理解では、面積が最大で100になるという誤解がありましたが、正しい答えは400cm²です。二次関数の最大値を求めるときは、頂点の公式を活用し、Xの値を計算することが重要です。