三角形の外接円の半径を求める公式の導出方法

この記事では、三角形の外接円の半径を求める公式、特に次の式
r = (三角形の面積) / (半周の長さ – 一つの辺の長さ)
がなぜ成り立つのかを詳しく解説します。

問題の背景

三角形ABCがあり、この三角形には外接円が存在します。外接円とは、三角形のすべての頂点が円周上に位置する円です。求める半径rは、この外接円の半径です。与えられた公式は、三角形の面積と半周の長さ（三角形の辺の長さの合計の半分）を使用して、外接円の半径を計算します。

外接円の半径を求める公式は、次のように一般的に表されます。

r = (abc) / (4A)

ここで、a, b, cは三角形の各辺の長さ、Aは三角形の面積です。これを元に、質問で与えられた式を理解します。

まず、質問にある式を注意深く見ると、外接円の半径rを求めるために、面積Aと「半周の長さ – 一つの辺の長さ」が使われている点に注目します。半周の長さは、三角形の周の半分、つまり次のように表されます。

半周 = (a + b + c) / 2

したがって、質問の式は次のように変形することができます。

r = A / ((a + b + c) / 2 – a)

三角形の面積Aは、ヘロンの公式を使って求めることができます。

A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

ここで、sは半周、すなわち (a + b + c) / 2 です。これを使うと、面積Aと辺の長さがどのように関連し、外接円の半径を求める式に変換されるかが明確になります。

質問で示された式は、外接円の半径を求めるための一般的な公式に基づいており、面積と半周の長さを利用して算出されます。この公式の理解を深めることで、三角形の外接円に関する問題を効率的に解くことができます。