複素数の計算: z + 1/z が実数である理由とその計算方法

高校数学の複素数分野では、複素数の共役を用いて問題を解くことが多くあります。特に「z + 1/z が実数になる」という条件を使って計算を進める問題は、計算方法を理解していないと進めにくいものです。この記事では、このタイプの問題の解き方と計算の方向性について解説します。

複素数の基本的な計算方法

複素数の計算では、まず複素数の共役を理解することが重要です。複素数zが「z = a + bi」という形のとき、その共役は「z̅ = a – bi」となります。複素数の和や積、商などを扱う際に、この共役を利用することで、実数部分を取り出すことができます。

例えば、z + 1/z の形で計算する場合、zが複素数であれば、その逆数1/zを求めて共役を利用し、実数部分を確認することが一般的な方法です。

z + 1/zが実数になるという条件は、複素数zとその逆数1/zの和が実数になるという意味です。実際にこれを確認するためには、zと1/zを共役を使って計算し、実数部分が0でないことを確認します。

例えば、z = a + bi としたとき、1/z は共役を使って計算できます。z + 1/z の実部が実数であれば、この式の右辺は実数であることがわかります。

実際に、z = a + bi の場合を考えた例を見てみましょう。z + 1/z を計算するために、まず1/zの共役を求めます。1/z = (a – bi) / (a² + b²) となり、これをz + 1/zの形に代入します。

計算を進めると、z + 1/z は実数になるため、実部を確認して答えを導きます。この手法は多くの複素数の問題に適用できるため、しっかり理解しておくと役立ちます。

この手の問題では、まず式を整理してから共役を使って実数部分を取り出すというステップを踏むことが大切です。共役の計算をしっかりと行い、実数部分を確認することで、計算がやりやすくなり、答えにたどり着くことができます。

計算を進める際には、途中で計算ミスを防ぐために、共役を求めた後は必ず確認しながら進めることが重要です。もし計算に詰まったら、共役を使った式の整理を再確認してみましょう。

z + 1/z が実数になる問題を解くためには、複素数の共役を使って計算を進めることがポイントです。共役を用いて実部を確認しながら計算を進めることで、計算をスムーズに行うことができます。計算の途中で確認を怠らず、実数部分がきちんと出ることを確認することで、確実に解を導くことができます。